Acasă Actualitate Dublu medaliat cu aur la Olimpiada Internațională de Matematică, Nicușor Dan a...

Dublu medaliat cu aur la Olimpiada Internațională de Matematică, Nicușor Dan a explicat ce a însemnat matematica pentru el

DISTRIBUIȚI

Nicușor Dan e cel mai deștept politician român. Nu o spunem noi, ci rezultatele obținute pe când era licean, în doi ani consecutivi, la Olimpiada Internațională de Matematică: două medalii de aur cu punctaj de 100%. Provenit dintr-o familie modestă din Făgăraș, Nicușor Dan nu a avut pile sau super-meditatori, ci pur și simplu are un coeficient de inteligență foarte mare.

Nicușor Dan a rememorat momentele de la olimpiade și a explicat în câteva cuvinte ce înseamnă matematica pentru el:
„Adrian Georgescu m-a provocat să rezolv o problemă pe care am rezolvat-o la Olimpiada Internațională de Matematică din 1988. Răzvan Zamfir m-a invitat să o rezolv aseară la B1.

„Rezolvând-o, mi-am amintit de emoțiile de atunci și de naivitatea cu care credeam, toți cei din lotul de matematică, că să câștigi Olimpiada este cel mai important lucru pe care poți să-l faci în viață.

Am făcut matematică, inițial dintr-o ambiție specifică adolescenței, apoi fascinat să cunosc descoperirile marilor înaintași.

Matematica este actul de cunoaștere care pune ordine, structură, în lumea reală. Matematica m-a format, m-a structurat. Cu formația de matematician, nu mi-e frică de nicio problemă complexă, iar administrarea Primăriei Capitalei este o problemă complexă.

Mulțumesc deci lui Adrian Georgescu și lui Răzvan Zamfir că m-au facut să mă întorc în timp, în lumea frumoasă și naivă de atunci.

Pentru pasionați, iată soluția:

Problemă: Demonstrați că dacă a, b sunt întregi pozitivi, iar ab+1 divide a^2+b^2, atunci raportul (a^2+b^2)/(ab+1) este pătrat perfect.

Soluția: Scriem a^2+b^2 = N(ab+1). Vom demonstra ca N este pătrat perfect.

Observăm [această observație este cea mai importantă în rezolvare] că relația de mai sus este o ecuație de gradul 2 în a, a^2 – Nba + b^2 – N = 0

Cealaltă soluție este Nb-a, conform formulei care dă suma celor două rădăcini ale ecuației de gradul 2 (Nb în cazul nostru).

Deci dacă (a, b) este o soluție, atunci (Nb-a, b) este o soluție.

Considerăm o soluție (a,b), și pentru că ecuația este simetrică în a și b, putem presupune că a este mai mare sau egal cu b.

Avem 3 cazuri:

i. Dacă b^2 – N = 0, problema este rezolvată, căci N = b^2 este pătrat perfect.

ii. Dacă b^2 – N > 0, folosim a doua relație între rădăcinile ecuației de gradul 2, a(Nb-a) = b^2 – N. Rezultă pe de o parte ca Nb-a este pozitiv. Pe de alta parte b^2 – N este mai mic decât b^2 și a este mai mare sau egal cu b, deci Nb-a este mai mic decât a. Rezultă că de la o soluție (a,b) am obținut o soluție (Nb-a, b) mai “mică”, adică (Nb-a) + b < a + b. [asta a fost a doua observație importantă pentru rezolvare]

iii. Dacă b^2 – N > 0, folosim a doua relație între rădăcinile ecuației de gradul 2, a(Nb-a) = b^2 – N. Rezultă că Nb-a este negativ, deci ca a > Nb. [aici intervine a treia observație/intuiție, cu cât raportul a/b este mai mare, cu atât numărul (a^2+b^2)/(ab+1) este mai mare, și pare că va fi prea mare]. În acest caz avem

(a^2+b^2)/(ab+1) = (a^2+b^2)/ab x ab/(ab+1) = (a/b + b/a) (1-1/ab)

Din ipoteza (a/b + b/a) este cel puțin (N+1/N) iar (1-1/ab) este cel puțin (1-1/N^3).

Cu un calcul scurt rezultă că (a^2+b^2)/(ab+1) este mai mare decât N, contrar ipotezei.

Cu asta, problema este rezolvată. Am văzut că dacă (a,b) este o soluție și N nu este pătrat perfect găsim o soluție mai mică. Considerăm soluția (a,b) cea mai mică. Întrucât nu există soluție mai mică, rezultă că N este pătrat perfect.”, conchide Nicușor Dan.

LĂSAȚI UN MESAJ

Please enter your comment!
Please enter your name here

DISCLAIMER
Atentie! Postati pe propria raspundere!
Inainte de a posta, cititi regulamentul.