Nicușor Dan e cel mai deștept politician român. Nu o spunem noi, ci rezultatele obținute pe când era licean, în doi ani consecutivi, la Olimpiada Internațională de Matematică: două medalii de aur cu punctaj de 100%. Provenit dintr-o familie modestă din Făgăraș, Nicușor Dan nu a avut pile sau super-meditatori, ci pur și simplu are un coeficient de inteligență foarte mare.
Nicușor Dan a rememorat momentele de la olimpiade și a explicat în câteva cuvinte ce înseamnă matematica pentru el:
„Adrian Georgescu m-a provocat să rezolv o problemă pe care am rezolvat-o la Olimpiada Internațională de Matematică din 1988. Răzvan Zamfir m-a invitat să o rezolv aseară la B1.
„Rezolvând-o, mi-am amintit de emoțiile de atunci și de naivitatea cu care credeam, toți cei din lotul de matematică, că să câștigi Olimpiada este cel mai important lucru pe care poți să-l faci în viață.
Am făcut matematică, inițial dintr-o ambiție specifică adolescenței, apoi fascinat să cunosc descoperirile marilor înaintași.
Matematica este actul de cunoaștere care pune ordine, structură, în lumea reală. Matematica m-a format, m-a structurat. Cu formația de matematician, nu mi-e frică de nicio problemă complexă, iar administrarea Primăriei Capitalei este o problemă complexă.
Mulțumesc deci lui Adrian Georgescu și lui Răzvan Zamfir că m-au facut să mă întorc în timp, în lumea frumoasă și naivă de atunci.
Pentru pasionați, iată soluția:
Problemă: Demonstrați că dacă a, b sunt întregi pozitivi, iar ab+1 divide a^2+b^2, atunci raportul (a^2+b^2)/(ab+1) este pătrat perfect.
Soluția: Scriem a^2+b^2 = N(ab+1). Vom demonstra ca N este pătrat perfect.
Observăm [această observație este cea mai importantă în rezolvare] că relația de mai sus este o ecuație de gradul 2 în a, a^2 – Nba + b^2 – N = 0
Cealaltă soluție este Nb-a, conform formulei care dă suma celor două rădăcini ale ecuației de gradul 2 (Nb în cazul nostru).
Deci dacă (a, b) este o soluție, atunci (Nb-a, b) este o soluție.
Considerăm o soluție (a,b), și pentru că ecuația este simetrică în a și b, putem presupune că a este mai mare sau egal cu b.
Avem 3 cazuri:
i. Dacă b^2 – N = 0, problema este rezolvată, căci N = b^2 este pătrat perfect.
ii. Dacă b^2 – N > 0, folosim a doua relație între rădăcinile ecuației de gradul 2, a(Nb-a) = b^2 – N. Rezultă pe de o parte ca Nb-a este pozitiv. Pe de alta parte b^2 – N este mai mic decât b^2 și a este mai mare sau egal cu b, deci Nb-a este mai mic decât a. Rezultă că de la o soluție (a,b) am obținut o soluție (Nb-a, b) mai “mică”, adică (Nb-a) + b < a + b. [asta a fost a doua observație importantă pentru rezolvare]
iii. Dacă b^2 – N > 0, folosim a doua relație între rădăcinile ecuației de gradul 2, a(Nb-a) = b^2 – N. Rezultă că Nb-a este negativ, deci ca a > Nb. [aici intervine a treia observație/intuiție, cu cât raportul a/b este mai mare, cu atât numărul (a^2+b^2)/(ab+1) este mai mare, și pare că va fi prea mare]. În acest caz avem
(a^2+b^2)/(ab+1) = (a^2+b^2)/ab x ab/(ab+1) = (a/b + b/a) (1-1/ab)
Din ipoteza (a/b + b/a) este cel puțin (N+1/N) iar (1-1/ab) este cel puțin (1-1/N^3).
Cu un calcul scurt rezultă că (a^2+b^2)/(ab+1) este mai mare decât N, contrar ipotezei.
Cu asta, problema este rezolvată. Am văzut că dacă (a,b) este o soluție și N nu este pătrat perfect găsim o soluție mai mică. Considerăm soluția (a,b) cea mai mică. Întrucât nu există soluție mai mică, rezultă că N este pătrat perfect.”, conchide Nicușor Dan.
CURENTUL nu a primit și nu primește bani de la guvern, ministere, instituții publice și nici de la partide.
Informațiile publicate pe www.curentul.info sunt protejate de dispozițiile legale incidente și pot fi preluate doar în limita a 500 de caractere, urmate de link activ la articol.
Sunt interzise copierea, reproducerea, recompilarea, modificarea precum și orice modalitate de exploatare a conținutului publicat pe www.curentul.info
